26 Marzo, 2010
Un monje ha hablado durante la cena. Como penitencia, deberá resolver el enigma que le propone el padre abad del monasterio:
Escribid dos cifras inferiores a 10 una debajo de la otra, sumadlas y anotad el resultado debajo. Continuad haciendo la misma operación ( sumar las dos últimas cantidades) hasta que la columna tenga diez números. Decidme entonces el séptimo número de la lista y os diré el total de la suma de los diez números de la columna.
¿Cuál es el secreto?
¿Puedes ayudar al monje en su penitencia?
Aquí no encontrareis pistas para este enigma, pero si un nuevo amigo de enigmatium
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La suma final de los números se halla de la siguiente manera. tomamos el resultado 7º, (por ejemplo 21). La primera y última cifra del resultado final serán las mismas que en el 7º resultado (2- 1) y en el centro se situa la suma de estas dos cifras (en este caso 3). Para el ejemploo que hemos puesto sería 231. Si la 7ª cifra de la lista fuera, por ejemplo 44, el resultado de la suma sería 484.
Muy entretenido, gracias por estas cositas.
Comentario por Carmen Herranz - 26 Marzo, 2010Comentario
Puntualizo, he hecho una prueba con el 4-7, el 2-6 y el 1-9.
Si nos dan el 7º número, el número final estará compuesto en las unidades por la misma unidad que el 7º número, es decir, que acaba igual. La centena y la decena de la sumatoria será igual a la decena y la unidad del 7º número más la decena del 7º número.
ejemplo: 4 y 7, su 7º número es 67. sabemos que termina en XX7 y que 67+6= 73, por lo que el número es 737
Enigmito, date una vuelta por el enigma de la señora y los 7 niños, que no hay ninguna novedad…
Comentario por Jesús y Naím - 27 Marzo, 2010Comentario
El padre abad puede saber cuál es la suma de los diez números porque es siempre once veces el séptimo número. Esta es la demostación matemática:
Si numeramos los diez números de la columna con letras desde la “a” a la “j”, y a la suma de todos le llamamos “k”, obtenemos las siguientes igualdades:
a=a
b=b
c=a+b
d=b+c
e=c+d
f=d+e
g=e+f
h=f+g
i=g+h
j=h+i
k=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j
El séptimo número de la columna es “g”. Lo que nos interesa es expresar “k” en función de g para obtener la relación entre el séptimo número y la suma de los diez números. Para esto usamos las igualdades anteriores y estas dos que incluyo a continuación que se deducen de las anteriores:
f=g-e
e=c+d=(a+b)+(a+b+b)=3b+2a
Si substituimos en la ecuación de “k” obtenemos que:
k=a+b+(a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+e)+(e+f)+(f+g)+(g+h)+(h+i)=
=2a+3b+2c+2d+2e+2f+2g+2h+i
Realizando más substituciones con el fin de dejar sólo las letras “a”, “b” y “g” obtenemos:
k=2a+3b+2(a+b)+2(a+b+b)+2(3b+2a)+2(g-3b-2a)+2g+2(g+g-3b-2a)+g+(g+g-3b+2a)=
=4a+5b+6a+10b+2(g-3b-2a)+2g+2(g+g-3b-2a)+g+(g+g-3b-2a)
Resolviendo:
k=10a+15b+2g-6b-4a+2g+2g+2g-6b-4a+g+g+g-3b-2a
k=0a+0b+11g
k=11g
Espero que los pasos intermedios ayuden en lugar de hacerlo más engorroso y no haberme equivocado en ninguna tontería o haber omitido algún sumando al copiarlo desde el papel.
Un saludo.
Comentario por Minerva - 9 Abril, 2010Comentario
No hace falta poner tantas letras. Si llamamos al primer número X y al segundo Y tenemos que los números de la serie son :
x,y,x+y, x+2y,2x+3y,3x+5y,5x+8y,8x+13y,13x+21y,21x+34y.
La suma de todos es 55X + 88y = 11(5x+8y) que es 11 veces el 7º número. Por lo que basta multiplicar por 11 el séptimo para tener la suma.
Comentario por jose - 16 Abril, 2010Comentario